अपने वरिष्ठ वर्षों में उच्च गणित का अध्ययन करने वाले कई छात्रों ने शायद सोचा: व्यवहार में अंतर समीकरण (डीई) कहां लागू होते हैं? एक नियम के रूप में, इस मुद्दे पर व्याख्यान में चर्चा नहीं की जाती है, और शिक्षक छात्रों को वास्तविक जीवन में अंतर समीकरणों के आवेदन को समझाए बिना तुरंत डीई को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। हम इस कमी को पूरा करने का प्रयास करेंगे।
आइए एक अंतर समीकरण को परिभाषित करके शुरू करें। तो, एक अंतर समीकरण एक समीकरण है जो किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान को फ़ंक्शन के साथ, स्वतंत्र चर के मान और कुछ संख्याओं (पैरामीटर) से जोड़ता है।
सबसे आम क्षेत्र जिसमें अंतर समीकरण लागू होते हैं, प्राकृतिक घटनाओं का गणितीय विवरण है। उनका उपयोग उन समस्याओं को हल करने में भी किया जाता है जहां प्रक्रिया का वर्णन करने वाले कुछ मूल्यों के बीच सीधा संबंध स्थापित करना असंभव है। जीव विज्ञान, भौतिकी, अर्थशास्त्र में ऐसी समस्याएं उत्पन्न होती हैं।
जीव विज्ञान में:
जैविक समुदायों का वर्णन करने वाला पहला सार्थक गणितीय मॉडल लोटका-वोल्टेरा मॉडल था। यह दो परस्पर क्रिया करने वाली प्रजातियों की आबादी का वर्णन करता है। उनमें से पहला, जिसे शिकारी कहा जाता है, दूसरे की अनुपस्थिति में, कानून के अनुसार मर जाता है x = -ax (a> 0), और दूसरा - शिकार - शिकारियों की अनुपस्थिति में कानून के अनुसार अनिश्चित काल तक गुणा करता है माल्थस का। इन दो प्रकारों की परस्पर क्रिया इस प्रकार की जाती है। शिकारियों और शिकार के मुठभेड़ों की संख्या के बराबर दर पर शिकार मर जाते हैं, जो इस मॉडल में दोनों आबादी के आकार के अनुपात में माना जाता है, यानी डीएक्सवाई (डी> 0) के बराबर। इसलिए, y = by - dxy। परभक्षी खाए गए शिकार की संख्या के अनुपात में प्रजनन करते हैं: x = –ax + cxy (c> 0)। समीकरणों की प्रणाली
x = -ax + cxy, (1)
y = by - dxy, (2)
ऐसी आबादी का वर्णन करने वाले शिकारी-शिकार को लोटका-वोल्टेरा प्रणाली (या मॉडल) कहा जाता है।
भौतिकी में:
न्यूटन के द्वितीय नियम को अवकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है
एम ((डी ^ 2) एक्स) / (डीटी ^ 2) = एफ (एक्स, टी), जहाँ m पिंड का द्रव्यमान है, x इसका निर्देशांक है, F (x, t) समय t पर निर्देशांक x के साथ पिंड पर कार्य करने वाला बल है। इसका समाधान निर्दिष्ट बल की कार्रवाई के तहत शरीर का प्रक्षेपवक्र है।
अर्थशास्त्र में:
उत्पादन की प्राकृतिक वृद्धि का मॉडल
हम मान लेंगे कि कुछ उत्पाद एक निश्चित मूल्य P पर बेचे जाते हैं। मान लीजिए Q (t) समय t पर बेचे गए उत्पादों की मात्रा को दर्शाता है; तो इस समय आय PQ (t) के बराबर है। बता दें कि निर्दिष्ट आय का एक हिस्सा बेचे गए उत्पादों के उत्पादन में निवेश पर खर्च किया जाता है, अर्थात।
मैं (टी) = एमपीक्यू (टी), (1)
जहां एम निवेश दर है - एक स्थिर संख्या, और 0
